题意
给定平面上一个圆的圆心位置和半径，从圆中以均匀的概率随机选取点。
分析
拒绝取样
其实我的第一反应是用拒绝取样（Rejection Sampling）的思路来做：首先从这个圆的与坐标轴平行的外切正方形中均匀随机选取点，然后判断点是否位于圆中；如果不在，重新生成一个新的点，再次进行判断；否则直接返回。
直觉上来说，拒绝取样显然是正确的；不过我们可以用一种稍微更加形式化的方法来描述。（以下内容参考了拒绝采样（reject sampling）的简单认识，非常直观形象。）
下图是一个随机变量的密度函数曲线，试问如何获得这个随机变量的样本呢？
如果你像我一样，已经把概率论与数理统计统统还给数学老师了，那么提示一下，概率密度函数（PDF）是累积分布函数（CDF）的导数，反映的是概率的“密集程度”。你可以设想一根极细的无穷长的金属杆，概率密度相当于杆上各点的质量密度。由于上述原因，概率密度函数曲线下的面积表示的就是取值概率。（参考了应该如何理解概率分布函数和概率密度函数？）
我们首先用一个矩形将这个密度曲线套起来，把密度曲线框在一个矩形里，如下图所示：
然后，向这个矩形里随机投点。随机投点意味着在矩形这块区域内，这些点是满足均匀分布的。投了大概10000个点，如下面这个样子：
显然，有的点落在了密度曲线下侧，有的点落在了密度曲线的上侧。上侧的点用绿色来表示，下侧的点用蓝色来表示，如下图：
只保留密度曲线下侧的点，即蓝色的点：
到这里，提一个问题：在密度曲线以下的这块区域里，这些点满足什么分布？均匀分布！这是拒绝采样最关键的部分，搞个矩形、向矩形里投点等等，所做的一切都是为了获得一个密度曲线所围成区域的均匀分布。只要能获得这样一个在密度曲线下满足均匀分布的样本，我们就可以获得与该密度曲线相匹配的随机变量的采样样本。方法是，只需把每个蓝点的横坐标提取出来，这些横坐标所构成的样本就是我们的目标样本。下图左侧，是按照以上方法获得的一个样本的直方图以及核密度估计，下图右侧，是开始的密度曲线。
极坐标法
先用角度随机选择一条半径，然后在这条半径上随机选择一个点。但问题是我们不能把圆这样看成是很多半径的集合——或者说，这条半径上不同位置的点的密集程度是不一样的。显然距离圆心更远的一端被选择的概率应该更大。
直接对角度和半径都进行随机取样会产生这样的后果，靠近圆心的点被选择的概率偏大（Uniform random points in a circle using polar coordinates）：
我们重新考虑一下半径的问题。以半径\(r\)作为随机变量，则随机点落在\(r\)范围内的概率分布为
以[0, 1]均匀分布对\(CDF(r)\)进行随机，则有\(r=R\sqrt{rand()}\)。
class Solution:
def __init__(self, radius: float, x_center: float, y_center: float):
self.radius = radius
self.x_center = x_center
self.y_center = y_center
def randPoint(self) -> List[float]:
theta = random.uniform(0, 1) * 2 * math.pi
p = math.sqrt(random.uniform(0, 1)) * self.radius
return [self.x_center + p * math.sin(theta), self.y_center + p * math.cos(theta)]