236. 二叉树的最近公共祖先

给定一个二叉树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。

百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 \(T\) 的两个节点 \(p\)、\(q\)，最近公共祖先表示为一个节点 \(x\)，满足 \(x\) 是 \(p\)、\(q \)的祖先且 \(x\) 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”

示例 1：

输入：root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 1
输出：3
解释：节点 5 和节点 1 的最近公共祖先是节点 3 。

示例 2：

输入：root = [3,5,1,6,2,0,8,null,null,7,4], p = 5, q = 4
输出：5
解释：节点 5 和节点 4 的最近公共祖先是节点 5 。因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。

示例 3：

输入：root = [1,2], p = 1, q = 2
输出：1

提示：

树中节点数目在范围 [2, 10⁵] 内。
-10⁹ <= Node.val <= 10⁹
所有 Node.val 互不相同 。
p != q
p 和 q 均存在于给定的二叉树中。

题解

祖先的定义：若节点 p 在节点 root 的左（右）子树中，或 p = root ，则称 root 是 p 的祖先。

最近公共祖先的定义：设节点 root 为节点 p, q 的某公共祖先，若其左子节点 root.left 和右子节点 root.right 都不是 p,q的公共祖先，则称 root 是 “最近的公共祖先” 。

根据以上定义，若 root 是 p, q 的 最近公共祖先 ，则只可能为以下情况之一：

p 和 q 在 root 的子树中，且分列 root 的异侧（即分别在左、右子树中）；
p = root ，且 q 在 root 的左或右子树中；
q = root ，且 p 在 root 的左或右子树中；

考虑通过递归对二叉树进行后序遍历，当遇到节点 p 或 q 时返回。从底至顶回溯，当节点 p, q 在节点 root 的异侧时，节点 root 即为最近公共祖先，则向上返回 root。

递归解析：

终止条件：
当越过叶节点，则直接返回 null；
当 root 等于 p, q，则直接返回 root；
递推工作：
开启递归左子节点，返回值记为 left ；
开启递归右子节点，返回值记为 right；
返回值：根据 left 和 right ，可展开为四种情况；

- 当 left 和 right 同时为空：说明 root 的左 / 右子树中都不包含 p,q，返回 null；
- 当 left 和 right 同时不为空：说明 p, q 分列在 root 的异侧（分别在左 / 右子树），因此 root 为最近公共祖先，返回 root ；
- 当 left为空，right 不为空：p,q 都不在 root 的左子树中，直接返回 right 。具体可分为两种情况：
  - p,q 其中一个在 root 的右子树中，此时 right 指向 p（假设为 p ）；
  - p,q 两节点都在 root 的右子树中，此时的 right 指向最近公共祖先节点；
- 当 left 不为空， right 为空：与情况 3. 同理；

观察发现，情况 1. 可合并至 3. 和 4. 内，详见下面代码。

复杂度分析：
时间复杂度 \(O(N)\) ：其中 \(N\) 为二叉树节点数；最差情况下，需要递归遍历树的所有节点。
空间复杂度 \(O(N)\) ：最差情况下，递归深度达到 \(N\) ，系统使用 \(O(N)\) 大小的额外空间。

# Definition for a binary tree node.
class TreeNode:
    def __init__(self, x):
        self.val = x
        self.left = None
        self.right = None

class Solution:
    def lowestCommonAncestor(self, root: 'TreeNode', p: 'TreeNode', q: 'TreeNode') -> 'TreeNode':
        # 1. 终止条件
        # 如果当前节点为空，或者当前节点就是 p 或 q，直接返回当前节点
        if not root or root == p or root == q:
            return root
        
        # 2. 递归左右子树
        left = self.lowestCommonAncestor(root.left, p, q)
        right = self.lowestCommonAncestor(root.right, p, q)
        
        # 3. 处理结果
        
        # 如果左右都找到了返回值，说明 p 和 q 分居两侧
        # 当前 root 就是最近公共祖先
        if left and right:
            return root
        
        # 如果只有左边有返回值，说明 p 和 q 都在左子树（或者其中一个是另一个的祖先）
        if left:
            return left
            
        # 如果只有右边有返回值，同理
        if right:
            return right
            
        # 如果左右都没找到（其实这步隐含在上面两个 if 中了，为了逻辑清晰写出来）
        return None

# 简化写法（逻辑完全一样）：
#         if not left: return right
#         if not right: return left
#         return root

#

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236. 二叉树的最近公共祖先

题解