问题表示

有很多概率问题，尤其是独立重复实验问题，如果用生成函数的方法来做，会显得特别方便。本文要讲的“随机游走”问题便是其中一例，它又被形象地叫做“醉汉问题”，其本质上是一个二项分布，但是由于取了极限，出现了很多新的性质和应用。我们先考虑如下问题：

考虑实数轴上的一个粒子，在 $t=0$ 时刻它位于原点，每过一秒，它要不向前移动一格（+1），要不就向后移动一格（-1），问 $n$ 秒后它所处位置的概率分布。

不难发现，这个问题跟二项分布是雷同的。如果把这个粒子形象比喻成一个“喝醉酒的人”，那么上面的走法就类似于一个完全不省人事的醉汉走路问题了。（当然，醉汉是在三维空间走路的，这里简单起见，只描述了一维的。）这是一个独立重复实验，每秒的行走可用函数描述为 $\frac{1}{2}(z+z^{-1})$，于是$n$ 秒后的运动分布情况可以用

\[ \frac{1}{2^n}(z+z^{-1})^n \]

来描述，$z^i(i=-n,-n+1,\dots,n-1,n)$ 的系数表示粒子位于 $i$ 的概率。

💡 $\frac{1}{2^n}(z+z^{-1})^n$ 是生成函数, 为什么用这个函数：

计算期望

首先，生成函数 $f(z)$ 乘以 $z$ 后求导可以得到位置乘以概率的和，也就是位置的期望。原因如下

我们的生成函数 $f(z)=\frac{1}{2^n}(z+z^{-1})^n$ 可以写成如下形式：

$$
f(z)=\sum_{i=-n}^n p_iz^i

其中 $p_i$ 是位置i的概率, 对这个函数求导：

\[ \frac{d}{dz}f(z)=\sum_{i=-n}^n ip_iz^{i-1} \]

再乘以 $z$ ：

\[ z\frac{d}{dz}f(z)=\sum_{i=-n}^n ip_iz^i \]

当 $z=1$ 时：

\[ z\frac{d}{dz}f(z)|_{z=1}=\sum_{i=-n}^n ip_i \]

这正是期望的定义：位置 $i$ 乘以对应的概率( $p_i$ )的和, 即

\[ E(X)=z\frac{d}{dz}f(z)|_{z=1} \]

具体来说，

\[ z\frac{d}{dz}f(z)|_{z=1}=\frac{1}{2^n}z\cdot n(z+z^{-1})^{n-1}(1-z^{-2})|_{z=1}=0 \]

也就是说，随机游走的期望为0，这是符合直觉的：因为向左和向右的概率相等,整个过程是对称的,无论走多少步，平均位置都在原点.

随机游走（维纳过程）

下面我们考虑一个更细致的随机行走问题，它导出了我们关于“随机游走”的基本结果。

考虑实数轴上的一个粒子，在 $t=0$ 时刻它位于原点，每过 $\Delta t$ 秒，它要不向前移动 $\Delta s$ 格（$+\Delta s$），要不就向后移动 $\Delta s$ 格（$-\Delta s$），考虑$\Delta t$,$\Delta s\to 0$，问 $t$ 秒后它所处位置的概率分布。

类似上面的做法，我们得到生成函数

\[ \frac{1}{2^{t/\Delta t}}\left(z^{\Delta s}+z^{-\Delta s}\right)^{t/\Delta t} \]

由于$\Delta t,\Delta s\to 0$，我们用 $e^{-i\omega}$ 代替 $z$，得到用傅里叶变换描述的生成函数：

\[ \frac{1}{2^{t/\Delta t}}\left(e^{-i\omega\Delta s }+e^{i\omega\Delta s }\right)^{t/\Delta t} \]

使用欧拉公式化简得

\[ \cos^{t/\Delta t}\left(\omega\Delta s \right)\approx\left(1-\frac{\omega^2 \Delta s ^2 }{2}\right)^{t/\Delta t} \]

为了得到意义明显的结果，取 $\Delta s^2 =\alpha \Delta t,\Delta t\to 0$，得到

\[ \exp\left(\frac{-\omega^2 \alpha t }{2}\right) \]

根据我们的推导过程，这就是随机游走问题概率分布的傅里叶变换结果。也就是说，假如 1 秒后，粒子位于$[x,x+dx]$ 处的概率是 $P(x)dx$，那么就有

\[ \exp\left(\frac{-\omega^2 \alpha t }{2}\right)=\int_{-\infty}^{+\infty}P(x) e^{-i\omega x}dx \]

通过傅里叶变换的逆变换，得到

\[ P(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \alpha t}}\exp\left(-\frac{x^2}{2\alpha t }\right) \]

这就是随机游走的概率分布，结果表明粒子的位置服从正态分布。上面的结果可以不费力地推广到高维。

随机游走（英语：Random Walk，缩写为 RW），是一种数学统计模型，它是一连串的轨迹所组成，其中每一次都是随机的。它能用来表示不规则的变动形式，如同一个人酒后乱步，所形成的随机过程记录。1905年，由卡尔·皮尔逊首次提出。随机游走是很多物理现象的数学基础，比如，在生产一个产品的时候，如果每个步骤的误差大概是一样的，那么最终的误差就是随机游走问题。类似的还有布朗运动、扩散定律等等，甚至量子力学的薛定谔方程在某种意义上也是一种随机游走。不过，由于$\Delta t \propto \Delta s ^2$，它居然是无穷大的速度！这背后的内涵还让笔者在困惑之中，但我们很快会继续回到这个话题上的。

Reference

🔖 https://www.spaces.ac.cn/archives/2573